Szerkesztő:Gubbubu/Halmazelmélet/Részhalmazok

• Témák jegyzéke
• Előző fejezet (Russell tételei)
• Következő fejezet (Párok)

E fejezetben egy olyan relációt ismertetünk, ami igen fontos például az univerzum felépülésének megértéséhez.

Részosztályok

Definíció

Legyen A,B két osztály. Azt mondjuk, A alosztálya vagy részosztálya B-nek, illetve B bővebb mint A, ha A minden eleme egyben B-nek is eleme. Jelben:

A⊆B.

A definíciónk logikai formulákkal a következő:

A⊆B :⇔ ∀x:(x∈A→x∈B)

vagy

A⊆B :⇔ x∈A⇒x∈B

.

⊆ alaptulajdonságai

Tétel: Érvényes tetszőleges A,B,C osztályokra:

1. A⊆A, azaz „⊆ reflexív tulajdonságú”
2. Ha A⊆B és B⊆A, akkor A=B, azaz „⊆ antiszimmetrikus tulajdonságú ”
3. Ha A⊆B és B⊆C, akkor A⊆C, azaz „⊆ tranzitív tulajdonságú”

Bizonyítás: 1). A minden eleme nyilván eleme A-nak is; továbbá 2). A elemei B elemei is, és viszont: azaz A és B ugyanazon elemeket tartalmazzák, így az egyenlőségi axióma folytán A=B; továbbá 3). A⊆B és B⊆C esetén A⊆C, hiszen A tetszőleges x∈A elemére x∈B is igaz A⊆B miatt, tehát B⊆C miatt x∈C, azaz A⊆C.

Az antiszimmetria-kritérium

Tétel: Tetszőleges A,B osztályok esetén, A=B pontosan azt jelenti, hogy A⊆B és B⊆A is teljesül.

A=B ⇔ (A⊆B ∧ B⊆A)

A⊆B azt jelenti, A minden eleme a B-nek is eleme. B⊆A azt jelenti, hogy B minden eleme eleme az A-nak is. Tehát A-nak és B-nek pontosan ugyanazok az eleme. Azaz, ha A⊆B és B⊆A, akkor A=B, ahogy erről már, igaz, szűkszavúan, fentebb szóltunk. A fordítottjára nézve: ha A=B, akkor az azt jelenti, ∀x:(x∈A ↔ x∈B), azaz ∀x:[(x∈A → x∈B) ∧ (x∈B → x∈A)], azaz ∀x:[(A⊆B)∧(B⊆A)], azaz amit bizonyítani kellett; Q.E.D.

Valódi részosztályság

Ha A⊆B és A≠B, azt mondjuk, A szigorú al- vagy részosztály B-ben, ill. szigorú tartalmazásról is beszélünk; : jele

A⊆B.

Tehát

A⊆B :⇔ (A⊆B ∧ A≠B).

Ha A,B halmazok, akkor szigorú értelemben vett részhalmazságról beszélünk.

Hogyan strukturálódik az univerzum?

Két részosztálylánc

Tétel: A következőkben belátjuk, hogy érvényes

∅⊆E⊆M⊆U;

illetve

∅⊆H⊆U = R.

Azt, hogy az üres halmaz részhalmaza az egyedek és a halmazok osztályának, néhány bekezdéssel lentebb látjuk be. A többi pedig tulajdonképp már bizonyítva van: E⊆M-t már bizonyítottuk itt; M⊆U pedig az M := {x∈U | ¬∃y:(y∈x)} intenzionális definícióból következik (természetesen, ha egy X osztálynak egy másik Y osztály majoránsosztálya, akkor ez pont azt jelenti, X⊆Y). Tehát már csak a következőt kell bizonyítani:

Tétel: ∅⊆A bármely A osztályra.

Informálisan a következőképp szokás ezt bizonyítani: az üreshalmaznak nincs eleme, ezért minden eleme eleme A-nak. Tudniillik, ha nem részhalmaza, az azt jelenti, hogy nem minden eleme eleme az A-nak, ami meg mi mást jelenthet: van olyan eleme, ami az A-nak nem eleme. Ilyen nem lehet, hisz üres. Tehát Q.E.D.

Hatványosztály

Definíció

Definíció: Az A osztály részosztályai osztályát, ha létezik, az A osztály hatványosztályának nevezzük és P(A)-val jelöljük. Ha ez halmaz, akkor az A hatványhalmazról beszélünk. Formulával:

P(A) := {x|x⊆A}

avagy

P(A) := {x | x∉E ∧ ∀y∈x:(y∈A)}

P a latin „potentia” = ”hatvány” szó kezdőbetűjére utal. Az elnevezés kombinatorikai, azaz számosságelméleti eredetű (ld. a számosságokról szóló fejezetet).

Tétel: A P(A) osztály két fenti definíciója ekvivalens.

Bizonyítás: Tekintsük az {x|x⊆A} osztályt, ha ez létezik, ekkor egyik eleme sem egyed (⊆ definíciója ezt kizárja), és a részhalmazság definíciója alapján, minden x elemének minden eleme eleme A-nak, azaz {x|x⊆A}⊆{x | x∉E ∧ ∀y∈x:(y∈A)}. Fordítva, tekintsük az {x | x∉E ∧ ∀y∈x:(y∈A)} osztályt, ha létezik, ennek minden eleme vagy osztály, vagy egyed, de nem egyed, tehát osztály; tehát olyan osztály, amelynek minden eleme eleme az A osztálynak, azaz minden eleme részhalmaza A-nak, azaz {x | x∉E ∧ ∀y∈x:(y∈A)}⊆{x|x⊆A}. Az ⊆ antiszimmetriája miatt, a két osztály egyenlő. Q.E.D.

Nagyon is indokolt a fenti definícióban a „ha létezik” óvatoskodó kikötés. Ugyanis:

Tétel: Csak halmazoknak lehet hatványosztálya. Valódi osztályoknak nincs hatványosztálya.

Bizonyítás: Egyszerű. Ugyanis tetszőleges osztályra A⊆A, hiszen ⊆ „reflexív” tulajdonságú. Ezért A∈P(A) is teljesül. Ám ha A valódi osztály, nem létezhet olyan osztály, ami elemként tartalmazza. Tehát ha A valódi osztály, P(A) nem osztály .

A hatványhalmaz-axióma

Azt már tudjuk, hogy hatványosztálya csak nemvalódi osztályoknak, azaz halmazoknak létezhet. Azt azonban honnan tudnánk, hogy tényleg létezik? Szükséges kimondani tehát a következő axiómát:

(A9) A hatványhalmaz-axióma. Tetszőleges halmaznak létezik hatványosztálya, vagyis részosztályai is egy osztályt alkotnak. (Gy6) Ez az osztály halmaz.

Erre az axiómára a megszámlálhatónál nagyobb számosságú végtelen halmazok létezésének bizonyításához mindenképp szükség van; ráadásul a hatványhalmaz-axióma nem következik az ún. részosztály-axiómából a „majoránshalmaz” hiánya miatt. Ugyanakkor, ha elfogadjuk az univerzális osztály létezését, akkor az „ez az osztály halmaz” kikötés felesleges; ugyanis az axióma ezen része a részosztály-axióma segítségével bizonyítható. Tehát tétel, hogy halmaz hatványosztálya maga is halmaz (azonban a részhalmaz-axióma megfogalmazása annyira eszközigényes, hogy ezt a tételt nagyon későre kellene halasztanunk).

Részhalmazok

A részhalmazság

Ha A halmaz, akkor inkább az „A részhalmaza B-nek” kifejezésmód a szokásos, elfogadott.

Ha szükséges a részosztályságtól való megkülönböztetés, akkor az

A⊆₁B

jelet használhatjuk.

Néhány bekezdéssel lejjebb bizonyítjuk, hogy egy halmaz minden részosztálya is halmaz.

A részhalmaz-tétel

Tétel: Egy halmaz minden részosztálya is halmaz.

Bizonyítás: Legyen A halmaz, ekkor létezik a P(A) hatványhalmaz; és legyen B⊆A;. Minthogy P(A)-nak eleme a B, ezért B osztályba foglalható osztály, vagyis halmaz.

Megjegyzések

A hatványhalmaz-axiómáról

A hatványhalmaz-axióma és az azt megelőző meggondolások egyik tanulsága: ha a komprehenzivitási elvet maradéktalanul fenntartanánk a osztályelméletben, s ebből következően létezőnek tekintjük tetszőleges osztály hatványosztályát, akkor abból logikai ellentmondásokat kapnánk (miszerint az osztályba elemként nem foglalható valódi osztályok elemei lennének saját hatványosztályuknak). Újabb példája ez annak, hogy az osztályelmélet konzisztens felépítéséhez nem elegendő pusztán az, hogy kizárjuk az öntartalmazkodó sokaságokat. A fenti tétel összhangban van azon megelőző észrevételünkkel, miszerint az osztályelmélet egy részlegesen tipizált sokaságelmélet. Ezért nem meglepő, hogy a „nagyon nagy osztályok” „igen nagy” sokaságai maguk nem osztályok, és mutatja az utat az osztályelmélet „hiperosztályelméletté” való kiterjesztése felé (egy valódi osztály hatványosztálya már nem lehet osztály, hanem „sokaság”).

Jegyzetek

Lap teteje