Szerkesztő:Gubbubu/Halmazelmélet/Unió

Ebben a fejezetben folytatjuk a konstrukciós eszközök ismertetését. A rendezett párok alkotása mellett az osztályok egyesítése a legalapvetőbb osztálykonstruáló eszköz.

Véges osztályunió

Két osztály uniója

Definíció: Legyen A,B két osztály. Ezek uniójának vagy egyesítésének nevezzük azon dolgok osztályát, melyek a kettő közül legalább az egyiknek az elemei. formulával:

A∪B := {x | x∈A ∨ x∈B}

Hasonlóan definiálhatjuk három, négy stb. osztály egyesítését is ^[1].

Régebben e műveletet az osztályok összegének vagy összeadásának is nevezték és A+B-vel is jelölték. Ez ma már inkább csak az elemi/középfokú oktatásban és a valószínűségszámítási tárgyú művekben fordul elő.

A kis unióaxióma

(A9) A „kis” unióaxióma: Ha A és B tetszőleges osztályok, akkor létezik az A∪B osztály.

Ez egy erős axióma, nem vezethető le későbbi axiómáinkból.

Osztálycsalád

Definíció: Egy osztályt osztálycsaládnak nevezünk, ha minden eleme osztály (vagyis halmaz), ha viszont egyik eleme sem osztály (hanem: individuum), akkor prímosztálynak, ha van olyan eleme, amely nem osztály, meg olyan is, ami osztály (halmaz), akkor vegyes osztálynak.

Egy osztálycsaládot halmazcsaládnak nevezünk, ha nemcsak minden eleme osztály (tehát: halmaz); hanem ő maga is halmaz.

A további elnevezéseket egy táblázatban rögzítjük (a kiemelés nélkülieket nemigen fogjuk használni):

	A elemei mind osztályok (halmazok)	A elemei közt atomi individuum is meg osztály is van	A elemei közt nincs egy osztály sem
A halmaz	Halmazcsalád	Vegyes halmaz	Prímhalmaz ^[2]
A valódi osztály	valódi osztálycsalád	(Vegyes valódi osztály)	(valódi prímosztály)^[3]
A osztály	osztálycsalád	Vegyes osztály	Prímosztály

Az ∅ üres halmaz igen sajátságos, mert prímhalmaz is, meg halmazcsalád is (ámde nem vegyes halmaz). Ez az egyetlen ilyen osztály (ld. a Gyakorlatokat).
Az egyedek E osztálya egy prímosztály, már amennyiben E nem üres (de ha üres, akkor is).
Az U univerzális osztály egy vegyes valódi osztály, hiszen az egyedeket meg a halmazokat is tartalmazza.
Osztálycsalád pl. a H halmazosztály is meg az üres osztály is. A halmazosztály valódi osztálycsalád is.
Az üres halmaz az univerzummal ellentétben halmazcsalád is. Az {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}} stb. halmazok szintén halmazcsaládok.

Mellesleg, ezzel bosszantó módon szaporítjuk az osztálykonstansok (vagyis a meghatározott osztályokat jelölő dőlt/írott latin nagybetűk) számát. Itt van rögtön a F (mint família), a halmazcsaládok osztálya:

F := {x | x∈H ∀y∈x:(x∈H)} = {x∈H | ∀y∈x:(x∈H)}

Ha már itt tartunk, sokkal keményebb dió az osztálycsaládok osztályának létezése, ld. Megjegyzések/Az osztálycsaládok osztálya.

Családunió

Család uniója

Definíció: Legyen A egy tetszőleges osztálycsalád. Ekkor az A család uniójának vagy egyesítésének nevezzük és ∪(A)-val jelöljük azt az osztályt (ha létezik), amely mindazon elemeket tartalmazza, melyek elemei A valamely elemének.

Ha félreértést nem okoz, az ∪(A) kifejezésben a zárójel elhagyható, tehát röviden csak ∪A-t is írhatunk. Ezt inkább csak informális szövegben alkalmazzuk.

Prím- vagy vegyes osztályok (mint pl. E vagy U ) unióját nem értelmezzük.

Az unióaxióma

(A10) A „nagy” unióaxióma: Ha A tetszőleges osztálycsalád, létezik az ∪(A) osztály. Ha A halmazcsalád, akkor az egyesítés is halmaz.

Sajnos, a "nagy" unóaxiómából nem következik a "kis" unióaxióma. A kicsi axiómát ugyanis valódi osztályokra is lehet alkalmazni, a nagy azonban csak egy család tagjait, vagyis csak halmazokat "tud" egyesíteni. Bár ezek alkothatnak osztályt is, lehet „osztálynyi sok” tagja is egy uniónak. ^[4]

A halmazosztály és uniója

Tétel: H⊆∪(H). A halmazosztály részosztálya a saját uniójának.

Bizonyítás: Eme osztály pontosan az összes halmazokat tartalmazza. Így azt kell belátni, hogy ha X tetszőleges halmaz, akkor X∈∪(H). Valóban, ha X halmaz, akkor a páraxiómából eredően {X} is halmaz. Eszerint {X}∈H, ami pontosan azt jelenti, X∈∪(H). Q.E.D.

A tétel megfordítása általában (minden „elképzelhető” halmazelméletben) nem igaz, azaz egyenlőség nem feltétlenül áll fenn (ld. Gyakorlatok).

Következmény:

Tétel: ∪(H) valódi osztály, nem halmaz.

Bizonyítás: valóban, hiszen ha halmaz lenne, a gyenge részhalmaz-axiómából következően minden részosztálya is halmaz lenne,. Mármost létezik az ∪(H) osztály az unióaxiómából következően, és ha ez halmaz lenne, a fenti tétel értelmében ennek részosztálya, H, szintén halmaz lenne. Russell „második” tétele miatt utóbbi nem lehetséges, ezért az sem, hogy ∪(H) halmaz. Q. E. D.

Az üres osztály és uniója

Tétel: ∪(∅) = ∅.

Bizonyítás: Az unióhalmaz mindazon elemek halmaza, amelyek elemei az üres halmaznak. Ilyen elem nincs. Tehát az unió is üres. Q. E. D.

Megjegyzések

A nagy unióaxiómáról

A legfontosabb kérdés persze, hogy a családok egyesítése „kivezethet”-e a halmazok vagy az osztályok köréből. Az elmúlt századok során nem találtak olyan antinómiát, hogy azt kellene feltételeznünk, a halmazok akár osztálynyi méretű családjának uniója is, ellentmondásokhoz vezet, de ama feltételezés sem okoz gondot, hogy halmazok halmazának uniója maga is halmaz.

Egy partikulárisabb kérdés viszont, hogy halmazok (valódi) osztályának uniójáról feltételezhetjük-e, hogy halmaz, akár némely esetben, akár mindig? A „némely esetben”-kérdésre nem tudjuk a választ, de az biztos, hogy általában a dolog nem igaz. Található példa osztálynyi sok halmazra, melyek egyesítése nem halmaz, ld. H unióját.

Az osztálycsaládok osztálya

Ha sikerült definiálni a halmazcsaládok osztályát, érdemes lenne definiálni az osztálycsaládok osztályáét is, hiszen ez a családok uniójának mint operációnak az értelmezési tartománya!

F' := {x | ∀y∈x:(x∈H)}

A gond persze az, hogy ez valódi osztályokat nem tartalmazhat - hiszen valódi osztály nem lehet eleme másik osztálynak. Amint e problémáról már korábban szóltunk.

Ez újabb mellbevágó példája annak, hogy az osztályelméleti "köznyelvünk" és formális nyelvünk nem egészen "párhuzamos" egymással! Ez a részleges tipizálás következménye. Nagyon vigyázni kell, mert amit informálisan mondunk, az nem biztosan formalizálható - ez az egyik ára az antinómiák elkerülésének. Definiálhatjuk a korábban már emlegetett Q := {x|x∉U} osztályt, de míg a naiv osztályelméletben ez egy nem létező osztály, formális elméletünkben létezik, de üres.

Az "osztálycsaládok sokasága" olyan sokaság, ami "kilóg" az osztályelméletből. Nem osztály, hanem hiperosztály. Amint fent írtuk, nem is tudjuk formalizálni, mert a fenti formalizálása kísérlet csak a halmazcsaládok osztályát adhatja meg.

Gyakorlatok

Tegyük fel, hogy E halmaz. Létezik-e ez esetben valódi prímosztály?
Igaz-e U=∪(U)?
Igaz-e, hogy az üres halmaz az egyetlen osztály, ami prímosztály is meg halmazcsalád is? Miért?
Érvényes-e ∪H⊆H? „Mi lehet valójában” az ∪H osztály, egy teljesen új valódi osztály, vagy a már eddig ismertek közül való ?
Lássuk be, hogy ∪F = H

Jegyzetek

↑ Ezt nem tesszük. A definíciót kiterjeszhetnénk tetszőleges véges sok osztályra is, de teljesen felesleges (arról nem is beszélve, hogy még nem tudhatjuk, mit jelent a „véges” szó).
↑ Más néven elsőfokú halmaz.
↑ Intuíciónk szerint erősen kétséges, ezek léteznek-e. Bár, ha feltesszük, hogy az E egyedosztály létezik (amit mi feltettünk) és valódi osztály (amit nyitva hagytunk), akkor ez az osztály egy jó példa valódi prímosztályra.
↑ Lásd még: Megjegyzések/A nagy unióaxiómáról.

[1] Ezt nem tesszük. A definíciót kiterjeszhetnénk tetszőleges véges sok osztályra is, de teljesen felesleges (arról nem is beszélve, hogy még nem tudhatjuk, mit jelent a „véges” szó).

[2] Más néven elsőfokú halmaz.

[3] Intuíciónk szerint erősen kétséges, ezek léteznek-e. Bár, ha feltesszük, hogy az E egyedosztály létezik (amit mi feltettünk) és valódi osztály (amit nyitva hagytunk), akkor ez az osztály egy jó példa valódi prímosztályra.

[4] Lásd még: Megjegyzések/A nagy unióaxiómáról.

[1]

[2]

[3]

[4]